COVID-19 Pandemisinin Türkiye Verilerine Dayanarak Modellenmesi-2


1. Metodlar

Modelleme genişletilmiş bir SEIR modeli kullanılarak yapılmıştır. Model diyagramı, denklemleri ve kullanılan parametreler aşağıdaki bölümlerde açıklanmıştır.

1.1 Dinamik Model Diyagramı ve Kompartmanları

Dinamik model diyagramı ve kompartmanlar arası geçişler Figür-1, kompartman notasyonlari ve tanımları aşağıda verilmiştir.

Notasyon Tanim
S (Susceptible) Henüz enfekte olmamış, hastalığa açık bireyler.
E (Exposed) Enfekte olmuş, fakat henüz bulaşıcı olmayan bireyler.
I (Infected) Popülasyondaki bulaşıcı bireyler.
H (Hospitilized) Hastanedeki (servis) bireyler.
ICU (Intensive Care Unit) Yoğun bakımdaki bireyler.
X Vefat etmiş toplam birey sayısı.
R (Recovered) İyileşmiş ve bağışıklık kazanmış toplam birey sayısı.
C Toplam vaka sayısı (semptomatik + asemptomatik).

1.2 Dinamik Model Denklemleri ve Parametreleri

Model kompartmanları Denklem Seti 1, model parametreleri Tablo 2’de verilmistir.

Figür 1: Dinamik model diyagramı ve kompartmanlar arası geçişler.
Tablo 2: Model parametreleri ve önsel dağılımları

Zamana bağlı karantina etkisi sigmoidal bir fonksiyon şeklinde modellenmmiş olup rlock(t) ile ifade edilir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır, 

Zamana bağlı gevşeme etkisi de benzer bir sigmoidal fonksiyon ile modellenmiştir ve rrelax(t) ile ifade edilir. Karantina durumunda enfeksiyon oranı bu fonksiyonlar göz önünde bulundurularak aşagıdaki şekilde modellenir,

Gevşetme durumunda enfeksiyon oranı ise, 

seklinde modellenmiştir. 

Test kapasitesi etkisi (rtest(t)) : Zamana bağlı lognormal şekle dahil bir fonksiyon olarak aşağıdaki şekilde modellenmiştir,

ve günlük yapılan test sayısının normalize edilmiş haline oturtularak parametrize edilir. Asemptomatiklerin detekte olma oranını etkiler.

2. Parametre Kestirimi ve Veri Oturtma

Parametre kestirimi işin kullanılan yöntemler ve sinyaller aşağıdaki gibidir,

  • Günlük vaka sayısı toplam vaka sayısı kompartmanının (C(t)) birinci türevine (Günlük C(t)) oturtulur.
  • Günlük vefat sayısı toplam vefat sayısı kompartmanının (X(t)) birinci türevine (Günlük X(t)) oturtulur.
  • Yoğun bakımdaki hasta sayısı ICU kompartmanına oturtulur.
  • Günlük iyileşen sayısının kaydının nasıl tutulduğuna dair tam bir bilgi(m) olmadığı için şimdilik parametre kestirimine dahil edilmemistir.
  • Sinyaller üzerindeki hata Negatif Binom (Negative Binomial) dağılımına göre modellenir, saçılım parametresi her sinyale özel olarak kestirilir.
  • Toplam yerine günlük veri noktalarının kullanılmasının sebebi korele olmayan veri noktaları elde etmektir.
  • Verilerin oturtulması sürecinde Hamilton MCMC algoritması kullanılmıştır.
  • Kod dosyaları ve kodun kullanımı hakkındaki detaylı bilgileri https://github.com/burcutepekule/corona-tr-modeling’de bulabilirsiniz.
  • COVID-19’un modellenme süreci hakkında daha çok bilgi için https://www.bilimma.com/ covid-19-nasil-modellendi/ linkindeki (görece daha az teknik bilgi içeren) blog yazısını inceleyebilirsiniz.

3. Sonuçlar

Aşağıdaki sonuçlar Sağlık Bakanlığı`nın kamuoyuna günlük bazda açıkladığı veriler kullanılarak hesaplanmıştır. Son veri noktası 20 Mayıs 2020’dir.

3.1 Test kapasitesinin parametrizasyonu

Figür 2: Zamana bağli normalize edilmiş test kapasitesi ve oturtulduğu rtest(t) fonksiyonu.

3.2 Parametrelerin Sonsal Dağılımları

Figür 3: Parametrelerin Sonsal Dağılımları : Toplamda 4 zincir ve 750 iterasyon kullanılarak hesaplanmıştır. İlk 250 iterasyon ısınma evresidir.

3.3 Projeksiyonlar

3.3.1 Populasyon Değerleri

Figür 4: Popülasyon projeksiyonları : Ortalama değerler sonsal dağılımların medyan değerleri kullanılarak hesaplanmıştır.

3.3.2 Efektif R değeri

Model ciktisi kullanilarak elde edilen Efektif R

Figür 5: Efektif R değerinin zamana bağlı değişimi : Dinamik model çıktıları kullanılarak hesaplanmıştır.

Seri Aralık ve Günlük Vaka Sayısı Kullanılarak Elde Edilen Efektif R

Figür 6: Efektif R değerinin zamana bağli değişimi: Seri aralık dağılımı ve günlük vaka sayısı kullanılarak hesaplanmıştır.

Bu çalişmada kullanılan modeli ve kodları referans göstermek icçin http://doi.org/10.5281/zenodo.3835635 linkini kullanabilirsiniz. 

Notlar:

  1. N , β, exp Normal, Beta, ve Eksponansiyel dağılımları ifade etmek için kullanılmıştır.
  2. Diğer kompartmanlar (I, H, ICU, R, ve X) t = 0 anında 0 olarak varsayılmıştır ve ilk vaka t = 1 anında gözlenir.