Mochizuki’nin abc Tahmini İçin Geliştirdiği Kanıtta Açık Olduğu İleri Sürüldü

Kyoto Üniversitesi’nde çalışan Japon matematikçi Shinichi Mochizuki tarafından 2012 yılında öne sürülen yaklaşık 500 sayfalık “abc tahmini kanıtı“nın geçerli olup olmadığı konusunda ..
Görsel Telif:

Kyoto Üniversitesi’nde çalışan Japon matematikçi Shinichi Mochizuki tarafından 2012 yılında öne sürülen yaklaşık 500 sayfalık “abc tahmini kanıtı“nın geçerli olup olmadığı konusunda 6 yıldır tartışmalar sürüyor. Asal sayılarla ilgili olan abc tahmini, adını a + b = c biçimindeki ifadelerden alıyor.

Eylül 2018’de konuyla ilgili ilginç bir gelişme yaşandı. Bonn Üniversitesi’nden Peter Scholze ve Frankfurt Goethe Üniversitesi’nden Jakob Stix tarafından hazırlanan bir raporda, Mochizuki’nin kanıtında “ciddi, onarılamaz bir boşluk” olduğu ileri sürüldü. Sadece 30 yaşında olmasına rağmen alanında hızla yükselen Fields Madalyası sahibi Scholze ve Mochizuki’nin kanıtını kapsayan matematik konularında uzman olan Stix, dört makaleden üçüncüsünde yer alan ve 9 sayfa uzunluğunda olan “Çıkarım 3.12“nin kanıtının sonuna yakın yapılan bir mantık yürütme satırının temelden hatalı olduğunu belirtiyor. Söz konusu çıkarım, Mochizuki’nin abc kanıtı için merkezi önem taşıyor.

Scholze ile Stix’in vardığı bu sonuç, makale üzerinde yaptıkları incelemelerin yanı sıra, kanıtı tartışmak için Mochizuki ile meslektaşı Yuichiro Hoshi’ye yaptıkları bir haftalık ziyarete dayanıyor. Scholze, bu ziyaretin çok yararını gördüklerini belirtiyor ve sonuç olarak abc tahmininin kanıtlanmış durumda olmadığını ekliyor. Ziyaret sırasında Mochizuki onları iddiasının sağlıklı olduğuna ikna edemezken, onlar da Mochizuki’yi iddiasının sağlıklı olmadığına ikna edememiş. Mochizuki yine de Scholze ile Stix’in raporunu kendi web sitesinde yayımladı ve rapora itirazlarını belirten kendi raporlarını da ekledi. Mochizuki, itiraz raporunda, Scholze ile Stix’in bazı temelleri kavrayamadığını belirtiyor. Onların olumsuz tutumlarının ise kendi kuramında herhangi bir hatanın varlığı anlamına hiçbir şekilde gelmediğini yazıyor.

Nedir Bu abc Tahmini?

Stanford Üniversitesi’nden matematikçi Brian Conrad, abc tahmininin, sayı kuramındaki olağanüstü tahminlerden biri olduğunu düşünüyor. Akla gelebilecek en basit eşitliklerden biri ile başlıyor: a+b=c. Bu üç sayının pozitif tamsayılar oldukları varsayılıyor ve aralarında asal oldukları yani ortak asal çarpanlarının olmadığı kabul ediliyor. Bu koşullara uyan bir eşitlik verildiğinde, üç sayıdan herahangi birinin asal çarpanı olan sayılara bakılır. Örneğin 5+16=21 eşitliği için asal çarpanlar 5, 2, 3 ve 7 olur. Bunları çarparsak 210 buluruz; başlangıçtaki eşitlikte yer alan sayıların üçünden de çok daha büyük bir sayıdır bu. Tersine, 5+27=32 eşitliği için asal çarpanlar olan 5, 3 ve 2 çarpılırsa 30 bulunur; başlangıçtaki eşitlikte bulunan 32’den küçük bir sayı. Çarpım sonucu böyle küçük çıkmıştır, çünkü 27 ve 32 sayıları, kendilerini elde etmek için çok kez yinelelenen küçük asal çarpanlara (3 ve 2) sahiptir.

Diğer abc üçlüleri ile uğraşmaya başladığınızda, bu ikinci senaryonun son derece ender olduğunu fark edersiniz. Örneğin a ve b’nin 1 ile 100 arasında olduğu 3.044 farklı üçlü arasında, asalların çarpımının c’den küçük olduğu sadece 7 durum vardır. İlk olarak 1980’li yıllarda formüle edilen abc tahmini, bu çeşit üçlülere rastlamanın enderliğini sistematize eder. Yeniden 5+27=32 örneğine dönersek, 32 sayısı 30’dan büyüktür ama çok az büyüktür. 32 sayısı 302 ya da 301,5 sayısından, hatta 301,02 sayısından (yaklaşık 32,11 eder) da küçüktür. abc tahmini şöyle der: Eğer 1’den daha büyük bir üs seçilirse, asal çarpanların çarpımının seçilen üsse yükseltilmesi ile bulunan sayıdan daha büyük bir c sayısının olduğu abc üçlüleri ancak sonlu sayıdadır.

Oxford Üniversitesi’nden Minhyong Kim, abc tahmininin çarpma ve toplama konusunda çok temel bir ifade olduğunu söylüyor. Öyle bir ifade ki, diyor Kim, sayı sistemleri hakkında şimdiye dek bilinmeyen çok temel bir çeşit yapıyı günyüzüne çıkarıyor gibi geliyor. Ayrıca a+b=c eşitliğinin basitliği, tahminden etkilenen çok sayıda başka problem olması anlamına geliyor. Örneğin xn+yn=zn biçimindeki eşitlikleri konu alan Fermat’nın Son Teoremi ve xm + 1 = yn biçimindeki eşitlikleri konu alıp, 8 ile 9’dan başka iki ardışık kusursuz kuvvet ( 8 = 23 ve 9 = 32) olmadığını söyleyen Katalan Tahmini için abc tahmini yeni kanıtlar sağlayabilir.

Mochizuki’nin Çalışması

Mochizuki’nin abc tahminine yaklaşımı, problemi eliptik eğriler (x ve y gibi iki değişkenin kübik eşitliğinin özel bir tipi) hakkında bir soruya dönüştürüyor. Mochizuki’nin çalışmasından önce de gayet iyi bilinen bu dönüşüm basit: Her bir abc eşitliği, çizimi x-ekseninde a’yı, b’yi ve orijini kesen eliptik eğri ile eşleştirilir. Böylece sayı kuramı geometri, kalkülüs ve diğer konularla bağlantılandırılarak, matematikçilerin eliptik eğrilerin zengin yapısından yararlanması sağlanır. Aynı dönüşüm, Andrew Wiles’ın 1994 tarihli Fermat’nın Son Teoremi kanıtınında merkezindedir.

Bu sayede abc tahmini, eliptik eğri ile ilişkilendirilen iki nicelik arasındaki belli bir eşitsizliği kanıtlamaya indirgenir. Mochizuki’nin çalışması, bu eşitsizliği de bir başka biçime dönüştürüyor; Stix bunun iki kümenin hacimlerinin karşılaştırılmasına benzetilebileceğini ekliyor. Çıkarım 3.12, Mochizuki’nin bu yeni eşitsizliği kanıtladığını belirttiği yer ve eğer doğru ise abc tahminini de kanıtladığı anlamına geliyor.

Scholze ve Stix’in betimlemesiyle, kanıt, iki kümenin hacimlerine, gerçel sayıların iki farklı kopyasının içinde yer alıyor olarak bakılmasını içeriyor. Bu gerçel sayılar da altı farklı kopyalı çemberin parçası olarak temsil ediliyor. Her bir kopyanın çember boyunca kendi komşuları ile nasıl ilişkili olduğunu açıklayan haritalamalar da mevcut. Kümelerin hacimlerinin birbirleri ile olan ilişkilerinin izini sürmek için bir kopyadaki hacim ölçümlerinin diğer kopyalardaki ölçümlerle nasıl ilişkili olduğunu anlamak gerekiyor. Eğer eşit olmayan iki şey varsa ama ölçüm çubuğu kontol edemediğiniz bir etkenle büzüşüyorsa, o zaman eşitsizliğin anlamı üzerindeki kontrolü yitirirsiniz, diye açıklıyor Stix.

Scholze ve Stix’in düşüncesine göre işlerin yanlış gitmeye nokta da tam olarak bu. Mochizuki’nin haritalamalarında, ölçüm çubukları yerel olarak birbirleri ile uyumlu, fakat çemberin başka yerlerine gidilecek olursa, bir tarafa gidildiğinde ölçüm çubuğunun aldığı görünüm, öbür tarafa gidildiğinde aldığı görünümden farklı oluyor. Stix, durumu Escher’in başı ile sonu birleşen ünlü merdivenine benzetiyor. Hacim ölçümlerindeki bu uyumsuzluk, ortaya çıkan eşitsizliğin yanlış nicelikler arasında olması anlamına geliyor. Eğer hacim ölçümlerinin yerel değil de global olarak uyumlu olması için ayarlamalar yaparsanız, bu kez de eşitsizlik anlamsızlaşıyor.

Mochizuki ise Scholze ile Stix’in ayrık olarak ele alınması gereken matematiksel nesneler arasında keyfi tanımlamalar yaparak hata ettiklerini söylüyor. İkilinin eleştirisinin temelinde, ele alınan matematik üzerinde yeterince derin düşünmek için zaman ayırmamak ve tanıdık matematiksel nesnelere bakmanın yeni yollarından duyulan rahatsızlık olduğunu belirtiyor. Matematikçilerin şimdi Scholze ile Stix’in argümanını ve Mochizuki’nin yanıtını özümsemesi gerekiyor.

Kaynak ve İleri Okuma

Etiket
  • Projelerimizde bize destek olmak ister misiniz?
  • Dilediğiniz miktarda aylık veya tek seferlik bağış yapabilirsiniz.
  • Destek Ol
Yorum Yap (0 )

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.

Bunlar da ilginizi çekebilir

Bağış Yap, Destek Ol!
Projelerimizde bize destek olmak isterseniz,
Patreon üzerinden
bütçenizi zorlamayacak şekilde aylık veya tek seferlik bağışta bulunabilirsiniz.
E-Bülten Üyeliği
Duyurulardan e-posta ile
haberdar olmak istiyorum.
Reklam Reklam Ver
Arşiv