Navier-Stokes denklemleri, bahçe hortumundan suyun akışı gibi tanıdık olguları tanımlar. Fakat aynı zamanda, milyon dolarlık bir matematiksel meydan okumanın da ta kendisidir.

Clay Matematik Enstitüsü, sıvıların akışını tanımlayan Navier-Stokes eşitlikleri için 1 milyon $ ödül vadediyor. Peki acaba kara delikler gibi şaşırtıcı gök cisimleri ile ilgili denklemler dururken, suyun akması gibi kulağa gayet basit gelen bir olaya ilişkin matematik neden daha zor? Görünüşe bakılırsa bunun nedeni türbülans. Lavaboda biriken suyun, gider deliği çevresinde oluşturduğu girdaplarda türbülansı gözlemlemek ya da hava koşullarına bağlı olarak bazı uçuşlarda türbülansı içeriden deneyimlemek mümkün. Yine de türbülans hakkında pek bilgimiz olduğu söylenemez.



Türbülanssız akışa örnek olarak düz bir dere verilebilir. Derenin her noktası aynı hızla aynı yöne hareket eder. Eğer derenin ortasına bir kaya parçası bırakılırsa, akışın farklı kısımlarında, akış hızı ve yönü farklılaşır; akış türbülanslı hâle gelir. Fizikçiler türbülans oluşumunu şöyle tanımlar: Düz akışta oluşan bir dairesellik ve ardı sıra bu girdabın içinde oluşan daha küçük girdaplar ve onların da içindeki daha küçük dairesel hareket.

Araştırmacılar, düz bir akışın tam olarak nasıl türbülanslı akış hâlini aldığını bilmek ve türbülansın oluşmasıyla birlikte akışkanın alacağı şekli öngörebilmek istiyor. Clay Enstitüsü'nün ödülü vermek için talep ettiği bilgi ise çok daha alçakgönüllü: Eşitliklerin çözümlerinin her durumda var olduğunun ispatı. Yani soru şu: Bu denklemler, her başlangıç koşulundaki her akışkanın, herhangi bir gelecek zamandaki durumunu tanımlayabilir mi?

"İlk adım basitçe bu denklemlerin bazı çözümler verdiğini kanıtlamaya çalışmak," diyor Princeton Üniversitesi'nden matematikçi Charlie Fefferman. "Bu bize akışkan davranışı ile ilgili tam bir kavrayış sağlamaz ama bunu yapamıyorsak da hiçbir şey bilemeyiz."

Öyleyse çözümlerin var olduğu nasıl kanıtlanır? Var olmamaları durumunu düşünerek başlayalım. Var olmamalarına ne sebep olabilir? Navier-Stokes eşitlikleri, hız ve basınç gibi niceliklerdeki değişimlerin hesaplanmasını içerir. Matematikçiler şundan korkar: Denklemleri işletiyorsunuz ve sonlu bir zaman diliminin ardından size akışkandaki bir parçacığın hareket hızının sonsuz olduğunu veriyor. Sonsuz bir değerin değişimini hesaplamak anlamsız olduğundan, bu büyük bir problemdir. Matematikçiler bu tür senaryolara "patlama" adını verir ve denkleminiz patladığında, çözüm yok demektir.



Denklemin patlamayacağını (yani çözümün her zaman var olduğunu) ispatlamak, akışkan içindeki her parçacığın maksimum hızının sonlu bir değerde kalacağını kanıtlamaya eşdeğerdir. Dolayısıyla akışkan içindeki kinetik enerji çok önemlidir.

Navier-Stokes kullanarak bir akışkanı modellemeye başladığınızda, akışkanınızın belli bir başlangıç enerjisi olacaktır. Ama türbülanslı bir akışta, bu enerji yoğunlaşabilir. Yani dereye eşitçe dağılmak yerine, kinetik enerji keyfi büyüklükteki girdaplarda toplanabilir. Bu girdaplardaki parçacıklar da sonsuz hıza (kuramsal olarak) ivmelenebilir.

"Ölçeği giderek küçülttüğümde, çözümü kontrol etmede kinetik enerji de giderek daha işe yaramaz hâle geliyor. Çözümüm aklına ne eserse onu yapabilir ve nasıl kontrol edeceğimi bilemem," diye açıklıyor Princeton'dan matematikçi Vlad Vicol.

Matematikçiler, Navier-Stokes gibi kısmi diferansiyel denklemleri, sonsuz küçük ölçekte işlemez hâle geleceği aşamaya göre sınıflandırır. Navier-Stoke denklemi, izgenin en ucunda yer alıyor. Denklemin matematiğinin güçlüğü, bir anlamda, tanımlayabileceği varsayılan türbülanslı akışların karmaşıklığının doğrudan yansıması oluyor.

"Bir noktaya zum yaptığınızda, matematiksel bakış açısından, çözüme ilişkin bilgi kaybediyorsunuz. Ama türbülansın tam da bunu tanımlaması gerekiyor; kinetik enerjiden büyük ölçekten giderek küçülen ölçeklere aktarımını. Yani zum yapmanız gerekiyor," diyor Vicol.



Fizik denklemleri hakkında konuşurken şunu merak etmek doğaldır: Bunların herhangi biri, fiziksel dünyaya ilişkin bakışımızı değiştirir mi? Navier-Stokes denklemleri ve vaad edilen ödül söz konusu olduğunda, yanıt hem evet hem de hayır. 200 yıla yakın zamandır süren deneylere bakılırsa, denklemlerin işe yaradığı açık. Navier-Stokes'un öngördüğü akışlar, deneylerde gözlemlenen akışlara uyuyor. Eğer laboratuvarda çalışan bir fizikçiyseniz, bu uyumluluk yeterli olabilir. Ama matematikçiler bundan fazlasını bilmek istiyor. Akışkandaki değişimi an be an izlemenin mümkün olup olmadığını merak ediyorlar. Geleceğin matematikçilerinin bu bilmeceyi çözüp çözemeyeceğini zaman gösterecek.