Antik Pisagorcuları Üzen Matematiksel Gerçek: 2’nin Karekökü

Antik Yunanistan’ın Pisagor felsefecilerinin sayılarla derin ilişkileri vardı. Aritmetik ve geometri, sadece ayrıcalıklı bir zümrenin erişebildiği gizli bilgiler olarak saklandı.
Görsel Telif: Jeffrey Phillips

Antik Yunanistan’ın Pisagor felsefecilerinin sayılarla derin ilişkileri vardı. Aritmetik ve geometri, sadece ayrıcalıklı bir zümrenin erişebildiği gizli bilgiler olarak saklandı. Evrenin kendisinin, sayılar ve geometriden oluşan bir yapı olduğuna inanıyorlardı. Böylelikle matematiği daha derinden keşfederek, kozmik gerçeklerin daha derin katmanlarına göz atma şansına erişebiliyorlardı. Bu nedenle bazı sayıların, yarattıkları düzenli zihinsel şemanın dışında yer aldığını gördüklerinde derin bir şoka uğradılar.

Küçük bir çocukken, öncelikle matematikçilerin “doğal sayılar” adını verdikleri sayıları saymayı öğreniriz. Sonra kesirleri öğreniriz ki kesirler, doğal sayıların birbirlerine oranları şeklinde ifade edilirler; örneğin 2/5 veya 1/3 gibi. Daha sonrasında ise ondalık sayılar gelir. Öğrendiğimiz her kesir, ondalık sayı olarak ifade edilebilir; örneğin, 2/5=0,4 ve 1/3=0,3333… (burada “…”nın anlamı, ardı ardına gelen 3’lerin sonsuza kadar devam ettiğidir.)

Emin olmak adına, sonlu uzunluktaki ondalık sayılar her zaman kesir biçiminde ifade edilebilir; örneğin, 0,43857 = 43857/100000. Peki sonsuz uzunluktaki ondalık sayılar için durum ne? Tekrarlayan sonsuz ondalık sayılar kesir biçiminde ifade edilebilirler; örneğin 0,33333… 1/3 ve 0,285414285714… = 2/7 gibi. Peki ya ondalık açılım tekrarlamıyorsa? O halde, bu şekilde sonsuz sayı vardır.

İlk Pisagorcular, akla gelebilecek her sayının prensipte kesir halinde, yani iki doğal sayının oranı şeklinde yazılabileceğine inanıyordu. Sonsuz sayıda doğal sayı olduğundan, işlerine yarayabilecek kadar sayının olması gerektiğini düşünüyorlardı. Muhtemelen M.Ö. 5.yy’da geometrici Hippasus tarafından bunun hatalı bir düşünce olduğunun keşfedilmesi, herkeste soğuk duş etkisi yarattı. Efsaneye göre, evrenin düzenine dair Pisagorcu konsepte bir tehdit oluşturduğu için, gerçekler herkes tarafından öğrenilmesin diye Hippasus bir sandaldan aşağı fırlatılarak boğuldu.

Günümüzde, doğal sayıların birbirine oranı şeklinde ifade edilemeyen sayılara irrasyonel (İngilizce “akla aykırı” anlamını barındırıyor) sayılar diyoruz; modern matematikçiler için tamamen akla yatkın olmalarına rağmen. Esasında bazı sayıların neden irrasyonel olduğunu görmek çok kolay. Buna en ünlü örnek 2’nin kareköküdür; kabaca 1,4142’ye eşittir ve √2 şeklinde yazılır. Eğer √2 rasyonel olsaydı, a ve b doğal sayılar olmak üzere (yani tam sayılar) a/b şeklinde yazılabiliyor olmalıydı. Bunu, bize hızlı bir matematiksel inceleme imkânı sunacak bir eşitlik şeklinde yazabiliriz: √2 = a/b.

Yeni başlayanlar için hatırlatalım: Burada bilinmeyen sayılardan, yani a ve b’den sadece birinin tek sayı olması gerektiğini biliyoruz. Eğer her ikisi de çift sayı olsaydı, kesrin pay ve paydasını 2’ye bölebilir ve kesri daha küçük sayıların oranı şeklinde ifade edebilirdik (örneğin 2/8 sayısını, 1/4 şeklinde yazabiliriz). Şimdi denkleme biraz farklı açılardan yaklaşalım. √2 = a/b denkleminin her iki tarafının karesini alırsak, şunu elde ederiz:

2 = a2/b2 (1)

Bu da şu şekilde yazılabilir:

a2 = 2b2 (2)

Burada hemen a2’nin çift sayı olduğu sonucuna varabiliriz. Neden? Çünkü, b2’nin iki katı. Herhangi bir doğal sayıyı (ki b’nin doğal sayı olduğunu biliyoruz) 2 ile çarparsanız, sonuç her zaman çift sayı olur. O halde a2 çift sayı olmalı.

Eğer a2 çiftse, a da çifttir (bir tek sayının karesi her zaman tek sayıdır). a ve b’nin her ikisinin de çift olamayacağını belirlediğimiz için, b’nin tek sayı olduğu sonucuna varabiliriz. Şimdiye kadar bir sorun yok. Eğer a bir çift sayıysa, her zaman 2c şeklinde yazılabilir dediğimiz anda tehlike sinyalleri çalmaya başlamıştır; burada c başka bir doğal sayıdır. Bunu (1) numaralı denklemde yerine yazarsak, şunu elde ederiz:

2 = 4c2/b2 (3)

Denklemi 2’ye bölüp, yeniden düzenlersek;

b2 = 2c2 (4)

2 numaralı denklemin ardından yürüttüğümüz aynı mantığı kullanarak, b’nin çift sayı olması gerektiği sonucuna varırız. Ama zaten b’yi tek sayı olarak belirlemiştik. O halde b’nin hem çift sayı hem tek sayı olduğu gibi saçma bir sonuca varırız ki bu da imkânsızdır. Hatalı mantık yürütmemiz, √2’nin tam sayıların oranı şeklinde yazılabileceği varsayımımızın başlangıcından kaynaklanıyor. Yazılamaz, çünkü “irrasyonel”dir. Buradan da neredeyse tüm sayıların irrasyonel olduğu sonucu çıkar, hatta aralarında ünlü olanları da vardır, π ve Altın Oran olarak adlandırılan φ gibi.

Sonsuz sayıda rasyonel ve irrasyonel sayı vardır; fakat yine de bir şekilde irrasyonel sayılar, rasyonel olanlardan fazladır. Sonsuzluğun daha büyük bir sınıfını meydana getirirler. Bu gerçeğin farkında olmamak, antik Yunanlıların yanlış sonuçlara varmalarına ve 19. yy’da sınıflandırılana kadar her türden paradoksa varmalarına yol açtı. Bugün irrasyonel sayıların birer felaket olmadıklarını görebiliyoruz, sadece tıpkı kesirlerin doğal sayılara yapılan bir uzantı olması gibi, sayı sisteminin bir uzantısı halindeler. Daha sonraki yüzyıllarda, sayı sistemi daha farklı yönlerde de uzatıldı ama bu başka bir yazının konusu.

Kaynak ve İleri Okuma

Etiket
  • Projelerimizde bize destek olmak ister misiniz?
  • Dilediğiniz miktarda aylık veya tek seferlik bağış yapabilirsiniz.
  • Destek Ol
Yorum Yap (0 )

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.

Bunlar da ilginizi çekebilir

Bağış Yap, Destek Ol!
Projelerimizde bize destek olmak isterseniz,
Patreon üzerinden
bütçenizi zorlamayacak şekilde aylık veya tek seferlik bağışta bulunabilirsiniz.
E-Bülten Üyeliği
Duyurulardan e-posta ile
haberdar olmak istiyorum.
Reklam Reklam Ver
Arşiv