Matematiksel güzellik denince akla ilk olarak Euler formülü gelir. Bilindiği kadarıyla, 1700'lü yıllarda yaşamış İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'in kendisi, formülü bu şekliyle hiç yazmamıştır:

e^iπ+1=0

Burada e sayısı doğal logaritma tabanı ve i sayısı -1'in kareköküdür.

Fakat Euler tarafından keşfedilen ve aşağıdaki gibi ifade edilen üstel büyüme ile dairesel hareket eşdeğerliliğinin özel bir durumu olduğu için Euler'in adıyla anılır:

e^iθ=cos(θ) + i sin(θ)

Bu özdeşlikten söz ederken çoğu zaman sırasıyla kosinüs, i sayısı ve sinüs kısaltılarak "cis teta" denir.

Amerikalı kuramsal fizikçi Richard Feynman, karmaşık sayı aritmetiğinin temel denklemlerinden biri olan Euler özdeşliğini "matematikteki en harikulâde formül" olarak tanımlamıştır. Bu özdeşlikten türetilen Euler formülünün beş tane matematiksel sabitten oluşan basit görünüşünün altındaki engin derinlik sezildiğinde ise insan öylece bakakalır.

Özdeşlik mi, Denklem mi, Formül mü?

Özdeşlik, içerdiği değişkenler hangi değeri alırsa alsın doğru kalan ifadedir. e^iπ + 1 = 0 ifadesinde ise herhangi bir değişken bulunmadığından özdeşlik denemez. Denklemlerde ise bilinmeyen vardır ve çözüm kümesinin elemanları bu bilinmeyenleri sağlar. e^iπ + 1 = 0 ifadesinde bilinmeyen de yoktur; o zaman denklem olduğu da söylenemez. Bu durumda en uygun tanımlama formül demektir.

Ne Diyor Bu Formül?

Euler’in formülünde beş temel sabit bulunuyor: 0, 1, i, e, ve Pi. Bunlara ilaveten bir eşit işareti ve bir artı işareti görüyoruz. Yani ortada toplam yedi simgeden oluşan gizemli bir sözcük varmış gibi görünüyor. Tabi formülü daha da kısa ve negatif sayı içeren şu şekilde yazmak da mümkün:

e^iπ=-1

Euler formülünün bir diğer yazım biçimi.

Matematikte keşiflerin önce kullanılmaya başlanıp, derinlerdeki anlamının sonradan kavranması sık karşılaşılan bir durumdur. 18.yüzyıl matematikçilerinden Jean d'Alembert bunu şöyle dile getirmiştir: "Cebir cömert davranır ve çoğu zaman bize istediğimizden fazlasını verir."

Gelin şimdi yüzyıllardır kullanılmaya devam edilse de, anlaşılmayı bekleyen esrarengizlikler barındırmayı sürdüren Euler formülünün yapıtaşlarının her birinin öyküsünü tek tek inceleyelim. Sonra da elimizdeki bilgileri toparlayıp düşünelim.

Sıfır (0)

Hiçlik, boşluk ve sonsuzluk kavramlarının tarihi çok eskiye dayanır. Ancak Yunanlılar ve diğer Batı kültürleri yokluk yani 0 ile hesaplama yapabilecekleri kurallar keşfedememiştir. İzi sürülebilen en eski sıfır ifadesi, 650 yılı civarında yaşamış Hintli düşünür Brahmagupta'ya dek uzanır. Bu buluş, bir diğer Hint icadı olan basamaklı değer kavramı ile birleşince çok daha kullanışlı hale gelmiştir. Yöntemin Avrupa'da tam anlamıyla benimsenmesi ise 15.yüzyılı bulmuştur.

Bir (1)

1 sayısı olmadan ileri aritmetik olmazdı. Sonuçta tüm diğer sayılar kaç tane 1 olduğunu söyler. Ayrıca 0 ve 1 tüm bilgisayarların altyapısını oluşturan ikilik sistem rakamları olup, 0'ın yokluğu simgeleyişi gibi 1 de varlığı simgeler.

i sayısı

İlkokulda negatif sayıların kökünün olmadığı söylenir; çünkü henüz sanal sayılarla tanışmak için erkendir. i sayısı -1'in karekökü olarak tanımlanır. Sanal sayıların kullanımı büyük ölçüde 16 ve 17.yüzyıllarda başlamıştır. Rene Descartes "sanal" yani o zamanki anlamıyla "hayali" adını biraz da küçümseme amacıyla seçmiştir. Matematiksel kavramların değerinin anlaşılması bazen uzun zaman alır. Sanal sayıların olumlu çağrışım yapmaya başlaması da ancak Euler ve Carl Friedrich Gauss tarafından yararları ortaya çıkarıldığında olmuştur. i sayısının tanımlanmasıyla beraber, n.dereceden bir polinomun n (karmaşık) kökü olması gibi harika bir sonuca varılmıştır. Örneğin x⁴-1 = (x+1) (x-1) (x-i) (x+i) olup, 4 tane kökü vardır. İşte karmaşık analiz böyle doğmuştur. Modern matematiğin ve kuantum fiziği de dahil matematiksel fiziğin karmaşık analiz olmadan düşünülmesi mümkün değildir.

π sayısı

Pi sayısı başlangıçta yarıçapı 1 olan dairenin alanı veya çapı 1 olan dairenin çevresi olarak tanımlanmıştır. Yunan matematikçi Arşimet bu düşünceyi kullanarak Pi için 22/7 yaklaştırmasına ulaşmıştır. Modern Pi tanımını keşfedense az sonra göreceğimiz şekilde yine Euler olmuştur.

Karmaşık analizin geometrik yorumlanmasının esasını oluşturan yukarıdaki cis teta özdeşliğindeki kosinüs ve sinüs trigonometrik fonksiyonlarının yerine, bu fonksiyonların Taylor serisi açılımları yerleştirilebilir:

Bu biraz karmaşık görünse de serileri çok uzun polinomlar olarak düşünebiliriz. Burada n! = (1 x 2 x … x n) olup, n faktöriyel adı verilir ve 1'den başlayarak n sayısına kadar (n de dahil) olan tam sayıların çarpımını ifade eder. Bu da bir diğer 17.yüzyıl keşfidir.

e sayısı

17.yüzyılda doğal logaritma tabanı olarak alınan e sayısı da tıpkı Pi gibi bir aşkın sayıdır. Virgülden sonraki haneler yinelenmeden ve öngörülemez bir biçimde uzayıp gider. Hem pi hem e'ye adlarını veren Euler ustanın farkına vardığı bir diğer gerçek ise e^x değerinin de şık bir Taylor serisi açılımının olduğudur:

Burada teta değeri 1 alındığında e sayısı için bir formül elde edilmiş olur.

Öyleyse...

Artık Euler formülünü oluşturan öğelerin hepsi hakkında fikir sahibi olduk. Şimdi yukarıdaki eşitlikte teta değerini π olarak alırsak ve biraz trigonometri bilgisiyle (sin π = 0 ve cos π = -1) eşitliği adım adım indirgersek, formüle ulaşabiliriz:

Matematiksel Güzellik Nasıl Olur?

Bir formülün güzelliğinin farkına varabilmek için öğeleri hakkında bilgi sahibi olmak gerekir. Bertrand Russell bunu şöyle anlatır:

"Matematik doğru açıdan bakıldığında, sadece gerçeğe değil ulvi bir güzelliğe de sahiptir. Bu güzellik bir heykeldeki gibi soğuk ve serttir. Zayıf doğamız için herhangi bir çekiciliği olmayan, resmin veya müziğin göz kamaştırıcı süslerinin olmadığı ama yine de yüce bir saflıkta ve tam bir kusursuzluk içinde."

Matematikçilerin çoğu bir formülün güzel olması için beklenmedik bir bağıntı kurmasının yanı sıra kısa, öz ve yararlı olması gerektiğinde hemfikirdir. Bu kıstaslar göz önüne alındığında ise Euler özdeşliğinin rakibinin olmadığı söylenebilir.

Bu güzel eşitliği anlatan ve ODTÜ Matematik Topluluğu tarafından Türkçeleştirilen şu videolu anlatımı da izlemenizi öneririz: