Oxford Üniversitesi'nde 7-11 Aralık tarihleri arasında bir grup araştırmacı, Japon matematikçi Shinichi Mochizuki'nin 2012 yılında öne sürdüğü bir kanıtı doğrulamak ya da yanlışlamak adına toplandı. Anlaşılmasının güçlüğü ve hacmi nedeniyle oldukça gizemli bulunan bu kanıt, asal sayıları konu alan "abc tahmini" ile ilgili. Kanıtı irdelemek için gösterilen bu toplu çaba sonucunda birkaç ipucu elde edilmekle beraber, net yanıtlara ulaşılamadı. Yani abc tahmininde karmaşa hala sürüyor ama Oxford toplantısı çözüm yolunda umut vaad etti.

Mochizuki'nin çalışması üç yıl önce internette beliren, anlaşılması zor fakat çığır açma potansiyeli taşıyan bir kanıt. Kanıtın geçerliliğinin olup olmadığı henüz belli değil. Oxford Üniversitesi'nde uzmanların ele aldığı konu buydu ve açık bir yanıt ortaya çıkaramamış olmaları bazılarını hayal kırıklığına uğrattı. Bir kısım uzman ise bu atölyenin en azından bir çözüm yönündeki beklentileri körüklediğini belirtiyor. Kanıtın çekingen mimarı Japon matematikçi Shinichi Mochizuki de toplantıya sanal olarak katıldı.

Mochizuki'nin kanıtını anlama uğraşı Ağustos 2012'ye dayanıyor. Mochizuki, o tarihte sessizce kendi internet sitesinde dört makale yayımladı ve abc tahminini çözdüğünü iddia etti. Problem adını a + b = c biçimindeki ifadelerden alıyor. a ve b'nin çarpanları olan asal sayıları, c'nin çarpanları olan asal sayılarla bağlantılandırıyor. Çözümü, tam sayıların temel özellikleri ve aralarındaki ilişkileri konu alan sayı kuramını temelden değiştirecek.

Esrarlı Kitap

Ancak Mochizuki'nin toplamda 500 sayfaya ulaşan makaleleri, matematikçilerin standartlarına göre bile aşırı derecede soyut ve örtülü bir dille yazılmıştı. Bu yüzden, bırakın doğrulamayı sadece okumak bile diğer matematikçiler için güçtü. Dahası, bu makaleler yazarın yıllar boyu biriktirdiği aynı derecede büyük hacimli çalışmalarının üzerine inşa edilmişti ve bu çalışmaları tanıdık bulacak kimse yoktu.



Japonya Kyoto Üniversitesi'ndeki Matematiksel Bilimler Araştırma Enstitüsü'nün (RIMS) saygıdeğer bir üyesi olan 46 yaşındaki Mochizuki, yolculuk etmeyi sevmediğini belirterek, Japonya dışında makaleleri hakkında konuşması için yapılan tüm davetleri reddediyor. Şimdiye kadar sadece birkaç araştırmacı kanıtı okumayı başardı ve onların da Kyoto'da Mochizuki ile uzun zaman geçirmesi gerekti. Mochizuki'nin üzerinde çalıştığı sayı kuramı dalı olan aritmetik geometrinin önde gelen isimleri için bile bunaltıcı bir iş bu.

Oxford atölyesi, inceleme sürecini hızlandırmak adına düzenlendi. Hem Mochizuki'nin daha önceki çalışmaları, hem de kanıtı içeren 4 adet abc makalesi ele alındı. Makalelerin içeriği büyük ölçüde iki sayı kuramcısı tarafından sunuldu: Yuichiro Hoshi ve Go Yamashita. RIMS'ten olan bu iki matematikçi, kanıtı kendi bütünlüğü içinde kontrol ettiklerini söylüyor.

Beklendiği gibi Mochizuki toplantıya gelmedi, fakat katılımcıların sorularını Skype aracılığı ile yanıtladı. Atölyeye, Oxford Üniversitesi bünyesindeki kar amacı gütmeyen bir organizasyon olan Clay Matematik Enstitüsü ev sahipliği yaptı.

Atölyenin en çarpıcı sunumunun California Üniversitesi San Diego Kampüsü'nde görev yapan artimetik geometrici Kiran Kedlaya'nın 9 Aralık günü yaptığı konuşma olduğu konusunda katılımcılar hemfikir. Kedlaya, Mochizuki'nin 2008 tarihli bir makalesini ele alarak, abc tahminini bir diğer matematik dalı olan topoloji ile ilişkilendirişini anlattı. Kurduğu bu bağlantının, harika stratejisinin en kritik adımı olduğunu herkes o anda fark etti.

"Şimdi Anlaşıldı" Denilen An

Bu açıklamayı duymanın, araştırmacıların beklediği "şimdi anlaşıldı" deme anı olduğunu söylüyor Stanford Üniversitesi'nden sayı kuramcısı Brian Conrad. Fakat konferansın geri kalanında bunu dedirtecek başka bir şey de olmamış.

"Her şeyin nasıl yerli yerine oturacağı hakkındaki soruların hala net bir yanıtı yok," diyor Kedlaya. O da kanıtın başka matematikçiler tarafından da incelenip, kendisinin işaret ettiğine benzer biçimde anahtar bölümler arasındaki bağlantıları kuran stratejinin anlaşılması gerektiğini vurguluyor. Yine de artık Mochizuki'nin kanıtına daha çok zaman harcamak yönünde motive olduğunu ekliyor.

Toplantının organizatörü olan Oxford Üniversitesi'nden aritmetik geometrici Minhyong Kim, atölyeden önce kanıta tam bir gizem olarak bakan pek çok katılımcının genel strateji hakkında fikir sahibi olduklarını ve kafa karışıklıklarının artık en azından kanıtın belli bölümlerine daraltılmış olduğunu söylüyor.

Conrad ve pek çok diğer katılımcı ise sonraki konuşmaların hazmının güç olduğunu düşünüyor. Bu güçlüğün biraz da kültürel farklılıklardan kaynaklanması muhtemel. Çünkü Japon matematikçiler daha resmi bir konuşma tarzına sahipler ve haşin bir dinleyici kitlesi tarafından sorgulanmaya da hiç alışık değiller.

Matematiksel Tiyatro

Bu eleştirilerin yanısıra, ilk derslerdeki bazı konuların gereksiz olduğunu belirten Frankfurt Goethe Üniversitesi'nden sayı kuramcısı Jakob Stix, "Hangi konuların işleneceği hususunda, kanıtın bütüncül bir anlayışına sahip olunmadan seçim yapılmış. Tabi bundan şikayet etmeye hakkımız olmayabilir, çünkü öyle bir anlayışa sahip olabilmiş kimse yok," diyor.

Mochizuki yıllar boyunca yaptığı çalışmalar sırasında abc'yi kanıtlamasını sağlayabileceğini düşündüğü araçlar geliştirdiğini, fakat sonunda bunların tümüne gerek olmadığını anladığını ifade etti.

Daha sert ve iğneleyici konuşanlar da olmadı değil. Texas Üniversitesi Austin Kampüsü'nden Felipe Voloch internette organizasyonun tam bir maskaralık olduğunu yazdı.

Kanıtın kendisine yönelik alışılmış şikayetler de eksik olmadı. Purdue Üniversitesi'nden Artur Jackson yazılan metin miktarının absürd olduğunu ve yazarın neden bu kadar soyut olmayı tercih ettiğini anlamadığını belirtti.

Önümüzdeki Temmuz ayında Kyoto'da ikinci bir atölye yapılması planlanıyor. iddianın son derece önemli olduğunun altını çizen Kedlaya, herkesin bunun doğru olup olmadığını öğrenmesinin gerektiğini söylüyor.

 

Ek Okuma: Asal Sayı Bilmecesi Çözüldü mü?

Japon matematikçi Shinichi Mochizuki, abc tahmini için bir çözüm bulduğunu açıkladı. Doğru çıkarsa, gizemli asal sayılarla ilgili bilgiler artacak. Asal sayılar sadece kendisine ve 1 sayısına bölünebilen sayılardır. Bunlar çok fazla olmasına rağmen, sıraları rastlantı gibi görünür. Bazen arka arkaya iki asal sayı gelir, örneğin 11 ve 13 veya 41 ve 43 gibi. Bazen de iki asal sayı arasında büyük boşluklar vardır, mesela 113 ve 127 gibi.

Asal sayıların ortaya çıkış tahminini formüle eden Riemann hipotezi bugüne kadar kanıtlanmamıştır. Japon matematikçi Shinichi Mochizuki şimdi abc tahmini için bir çözüm açıkladı. Bu çözümde de asal sayılar arasındaki ilişkiler söz konusu deniyor (Spiegel). Aslında abc tahmini büyük Fermat teoremine benziyor. Teorem aᵑ + bᵑ = cᵑ’denkleminin, n˃2’de a,b,c doğal sayıları için bir çözüm içermediği anlamına geldiğini söyler. Denklem 17.yy’da matematikçi Pierre de Fermat tarafından formüle edildi, ancak 1994 yılında kanıtlanabildi.

Burada da a, b ve c olmak üzere üç doğal sayı söz konusu; c, a ve b’nin toplamıdır ve bu üç sayının ortak böleni yoktur. a + b = c için 25, 27 ve 52 sayısını kullandığımızda 25 + 27 = 52 denklemi ortaya çıkar. Bu üç sayı da aralarında asaldır, çünkü 25 = 5*5, 27 = 3*3*3* ve 52= 2*2*13.

Şimdi bu üç sayının kökünü alalım. Bu ürün onların içindeki asal sayılardır, örneğin birden fazla ortaya çıkan 5 gibi asal sayılar sadece bir kez ele alınır. Kök (abc) = 2*3*5*13 = 390. İşte abc tahmini bu kökün birkaç istisna dışında hep c sayısından büyük olduğunu söyler. Bu tahmin David Masser ve Joseph Oesterie adlarındaki iki sayı teorikçisi tarafından 1985 yılında formüle edilmişti. Yukarıda verilen örnek 25, 27, 52 bu tahminle örtüşmekte; çünkü 390, 52’den büyüktür.

Sayı teorikçileri abc tahminiyle fazlasıyla ilgilenir. Asal sayıların toplanmasının ne kadar çetrefilli olduğunu 17+19 örneği gösterir. İki toplanan da asal sayıdır ama toplamları 36, sayı teorikçilerinin görüşüne göre biraz sıkıcı bir sayıdır, yani 2*2*3*3*. Buna göre iki olağandışı sayının toplamı gayet olağan bir sayı olabiliyor. Bu toplamda hangi asal faktörlerin gizli olduğu neredeyse hiç tahmin edilemiyor. Bu tamamen kaotik bir durum diyor bilim insanları.

Japon matematikçiye ait kanıtın doğru olup olmadığını şimdilik kimse söylemiyor. Elle yazılmış dört ayrı bölüm 500 sayfadan oluşuyor ve internette yayımlandı. Kanıtın ne kadar zamanda kontrol edileceği henüz tahmin edilemiyor bile. Kontrol çok çabuk yapıldığında genelde hatalar yapılabilir diyor uzmanlar.

 

---

Kaynak: Nature, "Biggest mystery in mathematics in limbo after cryptic meeting"
< http://www.nature.com/news/biggest-mystery-in-mathematics-in-limbo-after-cryptic-meeting-1.19035 >

Ek Okuma - Kaynak: Cumhuriyet Bilim Teknik, 12.10.2012, s.7

---